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Líneas de investigación del Instituto:

Programa 1. Estructuras: estudio de nuevas estructuras surgidas de la teoría descriptiva de conjuntos, el álgebra categórica y el análisis funcional, y aplicadas hasta ahora a la resolución de problemas clásicos en la teoría de espacios de Banach. Por ejemplo:

1.1 Estructuras de posición. Desarrollo de la idea de posiciones relativas de un objeto (espacio vectorial topológico, grupo, variedad,…) en otro.

1.2 Estructuras universales. La comprensión de los objetos universales constituye la esencia del álgebra categórica y su traslación al análisis funcional. También incluye el estudio de los espacios de funciones continuas y de su estructura algebraico-topológica, determinación del espacio base a partir de propiedades de las funciones continuas (Lipschitz,…), etc.

1.3 Estructuras de tamaño y aproximación. Clasificación de espacios de Baire en topología,  espacios poliedrales en la geometría de espacios de Banach, grupos cíclicos en álgebra o espacios finitamente generados,  etc.

Programa 2. Geometrías: estudio de propiedades y conceptos propios de los espacios euclídeos de dimensión finita en contextos más generales. El programa contempla pues trasplantar a contextos abstractos los conceptos clásicos con el fin de encontrar las interrelaciones entre los nuevos tipos de espacios que surgen y sus propiedades geométricas, algebraicas y funcionales.

Programa 3. Ecuaciones.

3.1.  Soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales de tipo polinómico: teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias, localización de curvas integrales, puntos singulares y la teoría de ciclos límite de campos vectoriales analíticos y polinómicos.

3.2. Comportamiento asintótico de EDP y aplicación a problemas de diseño óptimo. Estudio de propiedades de materiales compuestos. 

3.3. Ecuaciones integrales no-lineales: estudio de problemas de filtración, sea a gran escala –filtración de residuos– o pequeña escala –fabricación de microchips–.

3.4. Ecuaciones polinómicas: estudio de objetos geométricos definidos por ecuaciones polinómicas, combinando técnicas de álgebra y geometría. Estudio de sus relaciones (sicigias) o resolución de problemas de descripción y clasificación.

 3.5. Ecuación del calor y ecuación de difusión: balance de energía entre el suelo y el aire para la aplicación al seguimiento de la actividad volcánica. Búsqueda de patrones de evolución anual de la temperatura de suelo en la capa activa del permafrost, con objeto de tratar de aislar en dicha señal las variaciones correspondientes a las variaciones en la actividad de un volcán.

Programa 4. Estructuras estadísticas y análisis de datos: estudio teórico y desarrollo de nuevos modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos.

4.1 Estadística matemática:  estudio del concepto de estructura estadística como “espacio” adecuado para el desarrollo de la Estadística Matemática, usando el lenguaje y técnicas de demostración propios de las teorías de la medida y de la probabilidad, unificadas axiomáticamente por Kolmogorov. Se estudian los conceptos de suficiencia (introducido por Fisher con el objeto de reducir el tamaño del conjunto original de datos) y de invariancia bajo la acción de un grupo de transformaciones (la idea más fructífera de “simetría” en inferencia estadística), así como otros conceptos propios de estadística matemática (completitud, libertad, independencia, etc.). En un contexto paramétrico, se proponen métodos estadísticos para el análisis de datos, tanto de tipo “lineal” como los llamados “direccionales”, que se representan sobre otros dominios  como círculo unidad, el toro o el cilindro, y sus extensiones multidi-mensionales). En un contexto estadístico no paramétrico se abordan problemas como la estimación de curvas notables  como la función de densidad y sus derivadas, la función de distribución, la función de regresión, la tasa de razón de fallo, etc.

4.2. Estadística aplicada: colaboración con otros grupos de investigación de la Universidad de Extremadura para el análisis de los datos obtenidos por experimentación o simulación, como por ejemplo en el campo de las Ciencias de la Salud, Física Aplicada, o en Ingeniería Química.

Programa 5. Computación cuántica: en su esqueleto desnudo, los elementos matemáticos tras la (posible) creación del (esperado) ordenador cuántico no son otra cosa que el estudio de normas tensoriales en espacios de dimensión finita. Hay al menos tres grupos de trabajo actuales de la UEx cuyos intereses incluyen los espacios normados de dimensión finita, varios de cuyos miembros han publicado artículos sobre el tema (de las normas tensoriales) con investigadores de prestigio en el campo de la computación cuántica.

Programa 6. Espacios métricos como si fueran espacios de Banach: estudio de la posible aplicación de las nuevas herramientas del análisis funcional, en conjunción con técnicas estadísticas y combinatorias de teoría descriptiva de conjuntos, para la traslación de los potentes teoremas de la teoría de espacios de Banach a la teoría de los espacios métricos arbitrarios.